GUIA DE APRENDIZAJE #1 TRIGONOMETRÍA
SEDE: Central
AREA: Matemática
ASIGNATURA:
Trigonometría
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PERIODO: Primero
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DOCENTE: Patricia del Pilar Velásquez Villota
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ESTUDIANTE:
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GRADO: Décimo
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Nivel de desempeño esperado
Reconozco
los triángulos rectángulos de diversas dimensiones, para aplicar el teorema
de Pitágoras y para deducir razones trigonométricas en cualquiera de sus
ángulos agudos
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COHERENCIA CONCEPTUAL
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DIMENSIÓ AFECTIVA
ACTITUDES, VALORES, HABILIDADES, COMPORTAMIENTOS,
DESTREZAS,
(SABER SER)
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DIMENSIÓN COGNITIVA
(NOCIONES, CONCEPTOS, CATEGORIAS
(SABER CONOCER)
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DIMENSIÓN PRAXIOLÓGICA
PROCEDIMIENTOS, TECNICAS, ESTRATEGIAS
ACTUACIONALES (SABER HACER)
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Habilidades para reconocer ángulos.
Valor del respeto por normas claras que velen por su
integridad y bienestar.
Valor de la autonomía como
parte de una sociedad y del rol en un contexto determinado.
Habilidades para realizar
aplicaciones de los triángulos rectángulos.
Habilidades para
identificar las razones trigonométricas.
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1.
Ángulos y sistemas de medición.
2.
Triángulos rectángulos.
3.
Razones trigonométricas.
4.
Identidades fundamentales.
5.
Aplicaciones de triángulos rectángulos.
6.
Concepto de probabilidad
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Reconozco y
dibujo ángulos en situaciones de la vida diaria.
Comprendo que
los ángulos ligados a un sistema de coordenadas cartesianas pueden ser
positivos o negativos y los relaciono con hechos de la vida real.
Reconozco los
triángulos rectángulos de diversas dimensiones para confrontar el teorema de
Pitágoras y para deducir razones trigonométricas en cualquiera de sus ángulos
agudos, determinados en el contexto escolar.
Presento
evaluación escrita tipo saber al final del período.
Presento el
cuaderno al día, Limpio y ordenado
Presento el
portafolio completo y decorado con los trabajos correspondientes al primer
período.
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PRESENTACIÓN:
Apreciado estudiante a
continuación encontrará una serie de actividades que te ayudarán a reconocer los procedimientos
para utilizar el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas. Para ello
es importante que recuerdes algunos conceptos básicos de ángulos y triángulos.
Te invito a desarrollar la presente guía con entusiasmo.
Recuerda lavarte las manos
varias veces en el día.
INTRODUCCION
La trigonometría
es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición
de los triángulos".
Se deriva del vocablo griego
τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον
<metron> "medida".
La trigonometría es la
rama de las matemáticas
que estudia las relaciones entre los ángulos
y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones
trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos
técnicos.
En términos generales,
la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno;
tangente, cotangente;
secante
y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de
la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas
de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría,
como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de
triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en
la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas
de navegación por satélites
La trigonometría se concibió con el objeto de medir ángulos
y distanciasen topografía y astronomía.
Hoy en día la trigonometría juega un papel importante en la
electricidad, la termodinámica, la investigación atómica.
Hay dos enfoques ampliamente aceptados en la aplicación de
las funciones trigonométricas: uno usa círculos en particular el círculo
unitario, el otro usa triángulos rectángulos.
Los fenómenos
ondulatorios, como las vibraciones de la cuerda de una guitarra, el sonido que
percibimos o las olas que se observan en el mar son, en realidad, el resultado
de una suma de superposiciones de muchas ondas simples de la forma de las
funciones SENO Y COSENO
Recordemos:
Las siguientes tablas muestran la
clasificación de los ángulos y de los triángulos:
ACTIVIDAD
1.
1.1
Realiza
en tu cuaderno un dibujo libre que involucre figuras geométricas.
Propiedades
de los triángulos:
- La suma de los ángulos
interiores de un triángulo es igual a 180 °.
- Cada triángulo equilátero es equiangular, es
decir, las medidas de sus ángulos internos son iguales, en este caso cada ángulo
mide 60 °
- Si dos lados de un triángulo tienen la misma medida,
entonces los ángulos opuestos también son de igual medida.
- En un triángulo, un mayor lado se opone a un
mayor ángulo.
- El valor de un ángulo exterior de un triángulo
es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
1.2 Realice un ejemplo
de cada una de las propiedades anteriores.
1.3 Ya has recordado la información
que necesitas tener clara sobre ángulos y triángulos. Ahora debes resolver el
siguiente taller:
Contesta las preguntas en esta sección y
realiza el proceso matemático en el cuaderno.
EL MAS FAMOSO DE TODOS:
TRIÁNGULO RECTANGULO
Recuerda que el triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto
(90°).
El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos
permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo,
por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber
el valor del tercero.
También nos
sirve para comprobar, conocidos los tres lados
de un triángulo, si un triángulo es rectángulo, ya
que si lo es sus lados deben cumplirlo.
En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de
otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le
llama hipotenusa, y a
los otros dos lados catetos.
Pues bien, el Teorema
de Pitágoras dice que: «En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Ejemplo 1; Calcular la hipotenusa del triángulo
rectángulo de lados 3cm y 4cm.
Aplicando el teorema de Pitágoras,
R/ La hipotenusa
mide 5 cm.
Ejemplo 2: Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2cm y uno de
sus lados mide 1cm, ¿cuánto mide el otro lado?
Llamamos a los
lados a y b y a la hipotenusa h.
Sabemos que
h=2 , a=1
Por Pitágoras,
sabemos que
Sustituyendo
los valores conocidos tenemos que:
Ahora
despejamos b en la ecuación
Por tanto, el
cateto mide
Problemas de aplicación;
Ejemplo 3:
Se quiere sujetar un poste vertical
de 5 metros de altura con un cable tirante
desde su parte más alta hasta el suelo. Si
la distancia desde el punto de anclaje del
cable en el suelo a la base del poste ed de 12 metros, ¡cuánto debe medir el
cable?
Solución:
Como el poste vertical es perpendicular al suelo,
forma un ángulo recto con él. Si consideramos el propio poste, el cable y la
distancia entre la base del poste y el punto de anclaje al suelo, tenemos un
triángulo rectángulo:
Llamando x a la longitud del cable, y aplicando el Teorema
de Pitágoras, se debe cumplir que:
Es
decir, el cable debe medir 13 metros.
Ejemplo 2:
Una escalera de 2,5 metros está apoyada en una pared
vertical. Si
el pie de la escalera está colocado a medio metro de
dicha pared, ¿a qué altura llega la escalera?
Solución:
Al ser la pared vertical,
la pared y el suelo son perpendiculares. Si consideramos la escalera, la altura
que alcanza ésta, y la distancia del pie de la escalera a la pared, tenemos un
triángulo rectángulo:
Llamando h a la altura que alcanza la
escalera en la pared, y aplicando el Teorema de Pitágoras, se tiene que:
La escalera
llega a una altura de 2,45 metros.
Actividad
2:
2.1 Halla la medida de x en cada triángulo:
a. Halla
la medida, en centímetros, de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos
catetos miden 5 y 12 centímetros.
b. Halla la medida, en metros, del cateto
desconocido de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide 17 metros y el
cateto conocido mide 15 metros.
2.2
Problema 1: Se quiere
colocar un cable desde la cima de una torre de 25 metros altura hasta un punto
situado a 50 metros de la base la torre. ¿Cuánto debe medir el cable?
Problema 2: Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5
metros de longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al
extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?
RAZONES TRIGONOMETRICAS
Las razones
trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas
entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la
comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.
Recuerda que los tres
lados del triángulo rectángulo reciben nombres especiales: Hipotenusa, que es
el lado que se opone al ángulo de 90° y los catetos que son los lados que
forman el ángulo de 90°.
Ahora debemos tener en
cuenta que dependiendo del ángulo agudo con el que vamos a trabajar, hablaremos
de cateto opuesto y cateto adyacente.
El cateto opuesto, como
su nombre lo indica es el cateto que se opone al ángulo con el que se va a
trabajar.
Cateto adyacente, es
uno de los lados del ángulo que se va a utilizar.
SOH-CAH-TOA:
Una manera sencilla de recordar
SOH-CAH-TOA es un acrónimo que se
usa para poder memorizar las definiciones de las razones trigonométricas más
importantes: seno, coseno y tangente. La siguiente tabla explica su
significado.
Las razones trigonométricas principales son:
seno, coseno y tangente, las otras 3 son los inversos multiplicativos de ellas,
observa:
Para poder definir las 6 relaciones trigonométricas,
es necesario que memorices las definiciones de las 3 razones fundamentales:
Seno, coseno y tangente, además debes saber aplicar el teorema de Pitágoras.
Para que puedas reforzar el tema y aclarar el tema de
sugiero el siguientes videos:
Ejemplo2
Actividad
3:
3.1 Halle
las 6 relaciones trigonométricas, para el ángulo θ en los siguientes triángulos. Recuerda que debes
aplicar el teorema de Pitágoras para hallar el lado que falta en cada
triángulo, y luego defines las relaciones trigonométricas.
Actividad 4:
Actividad 5:
a. Recuerda
y escribe en tu cuaderno el significado de “JODERCO”
b. Consulta
que es un “logo” (logotipo)
c. El
proyecto “JODERCO” tiene 3 líneas de acción: Ambiental, prevención y seguridad
vial. Teniendo en cuenta eso diseña un logo para el proyecto.
d. ¿Has
sido responsable con tu autocuidado y con el medio ambiente? Justifica tu
respuesta.
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